Funciones+booleanas

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2. Funciones booleanas en el ´algebra de Boole binaria Consideramos a partir de ahora el ´algebra de Boole binaria // B // = // f // 0 // ; // 1 // g // y  denotamos mediante // B n // el producto cartesiano de // B // por s´ı mismo // n // veces. B n = // B £ B £ ¢ ¢ ¢ £ B // = // f // ( // x // 1 // ; x // 2 // ; : : : ; x n // ) // = x i 2 f // 0 // ; // 1 // g ; i // = 1 // ; : : : ; n; g // Los elementos de // B n // son // n ¡ // plas de elementos de // B //, es decir, sucesiones de  0’s y 1’s cuyo n´umero total es // n //. Funci´on booleana en // B // = // f // 0 // ; // 1 // g // Llamamos funci´on booleana definida en // B // = // f // 0 // ; // 1 // g // o funci´on de conmutaci´on l´ogica a toda aplicaci´on f : // B n ! B // de manera que // f // ( // x // 1 // ; x // 2 // ; : : : ; x n // ) pueda expresarse a partir de las operaciones definidas en // B // efectuadas sobre las variables // x // 1 // ; x // 2 // ; : : : ; x n //. Ejemplos f : // B // 2 // ! B // definida por // f // ( // x // 1 // ; x // 2 ) = // x // 1 + // x // 2 g : // B // 2 // ! B // definida por // g // ( // x // 1 // ; x // 2 ) = // x // 1 // x // 2 Tablas de valores o tablas de verdad Toda funci´on booleana en // B // = // f // 0 // ; // 1 // g // puede representarse mediante tablas de valores o tablas de verdad. Las // n // primeras columnas permiten representar los 2// n // elementos de // B n // y la columna final indica el valor asignado por la  funci´on // f // a cada // n ¡ // pla ( // x // 1 // ; x // 2 // ; : : : ; x n // ). Ejemplo Tablas de verdad de algunas funciones binarias (de dos variables) definidas en // B // = // f // 0 // ; // 1 // g //. OR AND XOR NAND NOR x 1 // x // 2 // x // 1 + // x // 2 // x // 1 // x // 2 // x // 1 // © x // 2 // x // 1 // j x // 2 // x // 1 // # x // 2 0 0 0 0 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0  1 0 1 0 1 1 0  1 1 1 1 0 0 0  8  El ´algebra de Boole binaria de los interruptores Un interruptor instalado en un circuito el´ectrico es un mecanismo que produce dos respuestas: permite o impide el paso de la corriente el´ectrica. Se puede pensar en el conjunto de respuestas de un interruptor como en los elementos de un ´algebra de Boole binaria // B // = // f // 0 // ; // 1 // g //, asociando valor 1 a la  variable que denota el interruptor en caso de permitir el paso de la corriente y valor 0 en caso de impedir el paso de la misma. x toma valor 0 // x // toma valor 1 La suma de dos variables // x //, // y // asociadas a interruptores corresponde a la  instalaci´on de ambos interruptores en paralelo. El interruptor asociado a la suma // x // + // y // ofrece respuesta 0 ´unicamente en el caso en que // x //, // y // ofrecen respuesta 0. x y  x + // y // x y x + // y // 0 0 0 0 1 1  1 0 1  1 1 1  9  Por su lado, el producto de dos variables // x //, // y // asociadas a interruptores corresponde a la instalaci´on en serie. El interruptor asociado al producto // x y // ´unicamente ofrece respuesta 1 si // x //, // y // ofrecen respuesta 1. x y x y x y x y  0 0 0 0 1 0 1 0 0  1 1 1  N´umero de funciones booleanas en el ´algebra de Boole binaria Para el ´algebra de Boole binaria // B // = // f // 0 // ; // 1 // g //, el n´umero de funciones de // n // variables // f // : // B n ! B // resulta ser igual al n´umero de variaciones con repetici´on de 2 elementos tomados de 2 // n // en 2 // n //. El n´umero de elementos en el conjunto // B n // es 2 // n // y para cada uno de estos elementos una funci´on // f // definida sobre // B // = // f // 0 // ; // 1 // g // puede tomar valor 0 o valor 1. Entonces, // card f f = f // : // B n ! Bg // = // RV // 2 // ; // 2 // n // = 2 (2 // n // ) Para // n // = 2, el n´umero de funciones de conmutaci´on l´ogica de dos variables es 2 4 = 16; para // n // = 3, el n´umero de funciones de tres variables es 2 8 = 256; para // n // = 4, el n´umero de funciones de cuatro variables es 2 16 = 65536.